À la recherche du plus court chemin Tout public Gérard Grancher, Thierry de la Rue Comme chacun sait, le chemin le plus court pour joindre deux points est la ligne droite... dans les cas simples ! Nous montrerons dans cette conférence qu'une ligne brisée, un arc de cercle, ou des courbes plus compliquées peuvent aussi constituer le plus court chemin d'un point à un autre. Le problème se complique encore davantage lorsqu'il s'agit de relier plus de deux points entre eux. Nous présenterons des cas où des méthodes simples existent pour trouver le plus court "chemin" joignant n points, et des situations où, au contraire, on ne sait pas en pratique trouver ce plus court chemin : on doit se contenter de solutions approchées, obtenues notamment par des algorithmes faisant intervenir le hasard ! Nous verrons enfin que cette recherche du plus court chemin a de nombreuses applications, qui dépassent largement le cadre des transports : on l'utilise aussi dans des problèmes de classement et de statistiques... et pour la pose économique de papiers peints !
De la numération à la numérisation Tout public Gérard Grancher, Thierry de la Rue Les hommes n'ont pas toujours compté de la même façon. Nous passerons brièvement en revue l'histoire de la numération. Pour résoudre certains problèmes les mathématiciens ont dû inventer de nouveaux nombres. Le codage par les nombres a permis le recours aux ordinateurs et présente de multiples avantages. Mais les ordinateurs ne comptent pas tout-à -fait comme nous.
Statistique et mensonges
Tout public
Gérard Grancher
Disraeli, le premier ministre britannique du XIXe siècle, avait déclaré : "il y a trois sortes de mensonges : les petits mensonges, les gros mensonges et les statistiques !"
Statistiques, enquêtes, sondages, moyennes, indices... sont diffusés à longueur de colonnes dans les journaux écrits et télévisés. Ces travaux sont souvent, mais pas toujours, scientifiquement rigoureux. Les médias s'en font l'écho sous des formes très discutables : les illustrations graphiques relèvent parfois de la pure fantaisie. L'usage de la statistique devient abusif. Le grand public reste perplexe et en conclut: "on fait dire ce que l'on veut aux chiffres".
Un peu de culture mathématique permet d'éviter les pièges dus à une interprétation hâtive des chiffres. Nous vous proposons d'illustrer notre propos d'exemples tirés de l'actualité récente.
Enigma, histoire et principe d'une machine à chiffrer et à déchiffrer Tout public Gérard Grancher La nécessité de confidentialité de messages ne date pas de l'ère internet. Au petit jeu du codage - décodage, hier comme aujourd'hui, les mathématiciens sont sollicités pour concevoir ou décrypter de nouvelles méthodes de chiffrage. L'histoire d'Enigma, la machine utilisée par les armées allemandes de 1930 à 1945, en est un exemple où se mêlent espionnage et mathématiques.
Les mathématiques de la vie quotidienne
Tout public
Gérard Grancher
Le fonctionnement de nombreux appareils (téléphone portable, lecteur de CD, système de freinage ABS, carte bancaire à puce, ordinateur ...) de notre quotidien reposent sur des mathématiques. Pourquoi? Comment ? Mais très souvent, l'usage des mathématiques reste caché.
Les médias (ab-)usent et diffusent de nombreuses informations chiffrées sans toujours en expliquer la signification.
Comprendre le monde qui nous entoure nécessite une culture mathématique.
Quelques énigmes à caractère mathématique
Tout public
Gérard Grancher
Nous vous proposons quelques énigmes dont la résolution nécessite une démarche alliant analyse, rigueur et imagination. Cette démarche est tout-à -fait comparable à celle du mathématicien.
La solution de nos énigmes est toujours simple, parfois astucieuse, mais se situe rarement là où on est tenté de la rechercher !
Démocratie, dictature... et mathématiques
Tout public
Gérard Grancher
Le principe de décision en démocratie consiste à produire, de l'expression des opinions individuelles, un consensus. Il existe de multiples procédures pour passer des unes à l'autre variant suivant les pays, les jurys... Le Président n'est pas élu de la même façon en France, aux USA ou en Irlande. Quelles seraient les procédures qui répondraient à des critères "raisonnables" de qualité ?
Des mathématiciens se sont intéressés à ce type de questions. Du paradoxe de Condorcet au théorème de Black en passant par le théorème de Arrow, leurs réponses sont parfois déconcertantes.
Promenade mathématique au pays du Sudoku
Tout public
Gérard Grancher
Pour les mathématiciens, les statisticiens en particulier, les grilles de sudoku ne sont qu'un cas particulier de carrés latins. Nous tenterons au cours d'une promenade mathématique de répondre à quelques questions :
Du mariage ... et des mathématiques !
Tout public
Gérard Grancher
Comment constituer des couples "stables" en tenant compte des préférences de chacune des femmes et de chacun des hommes ?
Comment affecter les bacheliers dans les formations du supérieur en tenant compte de leurs compétences et de leurs souhaits ?
De même, comment affecter les greffons aux malades en attente d'une greffe ?
Les mathématiciens Lloyd Shapley et Alvin Roth ont reçu en 2012 le prix Nobel d'économie pour leur contribution à l'étude de ce type de problèmes.
Au croisement des mathématiques, de l'informatique et des sciences sociales, cette conférence sera aussi une occasion d'attirer
l'attention sur les conséquences des choix algorithmiques dont les usagers ont rarement conscience.
Hasard. Vous avez dit hasard ! Quel hasard ?
Tout public
Gérard Grancher
Nous nous promènerons autour de la notion de hasard en présentant quelques paradoxes relatifs au hasard et en tentant de répondre à quelques questions :
1, 2, 3 ... Classons !
Tout public
Gérard Grancher
Dans de multiples compétitions (tennis, foot-ball, judo, échecs), les compétiteurs sont classés.
Les procédures qui varient d'un sport à l'autre, s'appuient sur des calculs mathématiques plus ou moins complexes.
Nous vous proposons de les passer en revue en mettant en exergue les qualités et les paradoxes de chacune.
Ces classements sont pris en compte lors des tirages au sort pour l'organisation des tournois;
les méthodes choisies privilégient le spectaculaire à l'équité.
On ne classe pas que les sportifs, mais aussi les nations, les régions, les villes, les universités ...
Nous insisterons le coté arbitraire, et contestable, de tous ces classements.
Comment mesure-t-on l'inégalité de la répartition des richesses ?
Niveau lycée
Gérard Grancher
Les économistes statisticiens ont imaginé
au cours du siècle dernier plusieurs indices mesurant l'inégalité de répartition des richesses,
coefficient de Hoover, indice de Gini, ratio de Palma ... Quels liens avec la courbe de Lorenz
et Robin des Bois ?
Nous proposerons passer en revue les principaux indices et
les interprétations qu'on peut en faire.
C'est une occasion de faire quelques calculs mathématiques, pas toujours triviaux,
et un peu de géométrie élémentaire,
mais aussi d'initier la réflexion sur la fiabilité de tous ces indices.